1 · Deux modes
Animation guidée (mode par défaut) : un scénario en 11 étapes, bouclable, qui déplace l'objet
tout seul et affiche les explications. Lecture / pause, étape précédente / suivante,
recommencer, vitesse de 0,75× à 2×, et clic direct sur une étape. Raccourcis :
Espace = pause, ← / → = changer d'étape.
La case « mes réglages » rejoue le même scénario avec les paramètres du mode libre
(le texte de l'étape 6 s'adapte alors au cas hyperfocal). À la sortie du mode guidé, vos réglages
sont restitués.
Réglages libres : quatre curseurs xA (objet), xA′ (capteur),
R (ouverture) et ε (demi-côté d'un pixel), quatre scénarios, et trois options
(zone de netteté, repères ±ε, photons). Le bandeau en haut indique en permanence si l'image est
nette ou floue, et pourquoi.
Boutons utiles : ◎ Netteté max amène l'objet à la position de conjugaison ;
⌖ Mise au point déplace le capteur pour rendre l'objet courant parfaitement net —
ce sont les deux façons de résoudre la même équation.
Pause et exploration : si vous déplacez un élément du schéma ou sélectionnez une mire pendant le scénario, la lecture se met en pause. À la reprise (bouton ou Espace), les paramètres de démonstration sont rétablis et le scénario repart à l’étape 1 : les anciennes trajectoires ne sont jamais utilisées avec de nouveaux réglages. Sans modification, la pause reprend au même endroit. La densité de la mire et la visibilité de la courbe ne provoquent pas cette réinitialisation.
2 · Les cinq graphiques
La courbe de netteté est repliée par défaut : cliquez sur « Afficher » sous le cône ou sur « Courbe » en haut pour la déplier, puis sur « Masquer » pour la replier. Le scénario ne la déplie pas automatiquement. L’export PNG conserve les cinq graphiques, y compris la courbe masquée.
- Scène — six mires de résolution à distances fixes (de −6f′ à −f′) :
des barres noires de plus en plus fines, séparées par des blancs de même largeur. En dessous,
l'image réellement enregistrée, reconstruite sur la grille de pixels du capteur.
Plus la tache est grande, plus les barres fines fusionnent : la perte de résolution est visible
d'un coup d'œil. La mire encadrée est l'objet étudié (position dynamique) ; un clic sur une
colonne déplace l'objet à cette distance.
- Cône de rayons — un seul objet ponctuel sur l'axe, 13 rayons traversant toute
l'ouverture, les deux rayons extrêmes en orange. Le liseré rouge sur le capteur matérialise
le pixel central. L'objet, le capteur,
R et ε se déplacent à la souris.
- Courbe de netteté —
r/ε en fonction de la position de l'objet.
La bande verte est la zone où la tache tient dans un pixel ; le point orange suit l'objet.
Minimum de la courbe = conjugaison ; intersections avec le trait rouge = plans nets.
- Vue capteur 1 · la tache — grille 5×5 dans un plan perpendiculaire à l'axe :
c'est l'image d'un point source (une tache), pas la mire. Le disque orange est la
section du cône ; le cercle rouge en pointillés est la taille admissible (inscrit dans un pixel).
- Vue capteur 2 · enregistré — même grille et même point source, mais chaque
pixel s'allume dès que la tache l'effleure : c'est la « réponse impulsionnelle » du capteur.
L'énergie totale est normalisée : la somme des intensités vaut toujours 100 %,
donc plus la tache s'étale, plus chaque pixel devient sombre.
3 · Modèle optique
Optique géométrique paraxiale, lentille mince convergente de distance focale
f′ = 1 placée en x = 0. Toutes les distances sont exprimées en f′,
les objets sont à gauche (x < 0) et le capteur à droite (xS = xA′ > 0).
Conjugaison (Descartes) ...... 1/xA′ = 1/f′ + 1/xA
Rayon de la tache ......... r = R · |1 − xS/xA′|
Critère de netteté ........ r ≤ ε ⇔ 1 pixel allumé
Plans nets ................ xA(proche) = −xS/(m + ε/R), xA(loin) = −xS/(m − ε/R), m = xS/f′ − 1
Hyperfocale ............... m − ε/R ≤ 0 ⇒ dernier plan net rejeté à l'infini
Le rayon r se déduit de la hauteur des rayons extrêmes à la traversée du capteur :
un rayon passant par le bord de la lentille en y = ±R converge vers (xA′, 0),
donc il coupe le plan xS en y = ±R(1 − xS/xA′).
Un pixel a pour côté 2ε : ε est le rayon du cercle de confusion admissible, c'est-à-dire
le cercle inscrit dans le pixel central. Le seuil r = ε correspond donc au moment où
la tache commence à déborder sur les pixels voisins.
4 · Ce que calcule exactement le programme
- Conservation de l'énergie. Tant que la tache tient dans le pixel central, tous les
rayons y arrivent : l'énergie reçue est constante, donc la couleur du pixel ne varie pas.
Dès que plusieurs pixels sont touchés, on calcule pour chacun un poids
0,30 + 0,70 × fraction_couverte (échantillonnage 11 × 11 par pixel), puis on
divise par la somme des poids : la somme des énergies vaut toujours exactement 1.
Autrement dit l'image ne « gagne » pas de lumière en s'étalant, elle la répartit.
- Affichage de cette énergie. Les valeurs numériques sont strictement
normalisées (Σ = 100 %) et le panneau affiche le nombre de pixels allumés ainsi que la part
maximale reçue par un seul pixel. Pour que les pixels faiblement éclairés restent visibles
sur le fond sombre, la couleur subit une correction perceptuelle (exposant 0,65) :
chaque pixel de l'image floue est donc plus sombre que le pixel unique de l'image nette,
mais la somme des couleurs affichées n'est pas, elle, normalisée. Un affichage
strictement linéaire est possible en remplaçant cette ligne dans
drawPixels().
- Image enregistrée de la scène. Les six mires sont dessinées dans un canvas basse
résolution (un carré = un pixel du capteur, de taille ∝ ε). Chacune subit une
convolution par un disque de rayon
r/(2ε) pixels : on accumule K copies
de la mire décalées dans ce disque, avec globalCompositeOperation = 'lighter'
et alpha = 1/K — l'alpha final est donc exactement la fraction de la tache
qui recouvre chaque pixel. L'image est ensuite agrandie sans interpolation :
on obtient de vrais pixels carrés. (Le filter: blur() natif a été écarté
car Chrome l'ignore pour un rayon inférieur à 1 px, ce qui masquait tout flou modéré.)
Les barres les plus fines, plus étroites qu'un pixel, disparaissent en premier.
- Nombre de pixels sous la mire. La taille affichée d'un pixel vaut
PIX = borné(5ε, 1,2, 4) / densité. Le curseur Densité · mire, accessible dans les deux modes, va de ×0,4 à ×2,5 (×0,7 par défaut ; ×1 correspond au réglage précédent). Plus la densité est grande, plus la mire occupe de pixels, sans modifier les paramètres optiques ni les grilles 5 × 5. Comme un pixel mesure physiquement
2ε, réduire ce coefficient augmente le nombre de pixels qui couvrent la
mire — autrement dit cela revient à agrandir physiquement la mire sur le capteur.
Avec ε = 0,30 on dispose d'environ 560 × 45 pixels : à la netteté maximale
les barres fines sont correctement échantillonnées et la mire paraît nette ; quand ε grandit,
les pixels grossissent et la mire devient plus grossière, ce qui est le comportement attendu.
Coût : quelques centaines de fillRect + 7 petits blits par image, sans
lecture de pixels — l'animation reste fluide (environ 60 images/s).
- Hyperfocale. Quand
m − ε/R ≤ 0, la courbe ne recoupe plus jamais le seuil
du côté lointain : la profondeur de champ est infinie, l'affichage montre ∞
et l'étape 6 du scénario change de texte.
5 · Limites du modèle — à garder en tête
- Approximation paraxiale : ni aberrations sphériques, ni coma, ni astigmatisme, ni distorsion,
ni vignettage. Lumière monochromatique, pas de chromatisme.
- La diffraction n'est pas traitée (choix volontaire pour l'instant). En pratique la tache
d'Airy
r_Airy ≈ 1,22 λ·f/# avec f/# = f′/(2R) s'ajouterait en quadrature :
r_tot = √(r_geo² + r_Airy²). On perdrait alors de la netteté en fermant trop le diaphragme —
effet absent ici. Le code contient un commentaire à l'endroit où l'ajouter.
- Le capteur est supposé parfait : pas de bruit de lecture, pas de saturation, pas de débayerisation,
et un pixel s'allume dès le moindre contact avec la tache (pas de seuil de détection).
- Les six mires sont des objets tests indépendants ; chacune reçoit le flou correspondant
à sa propre distance, pas celle de l'objet étudié. Elles sont affichées à taille
normalisée : le grandissement n'est pas représenté.
- La grille 5 × 5 écrête la tache : si celle-ci devient plus grande que la grille,
l'énergie affichée est seulement celle qui tombe dans ces 25 pixels.
6 · Réglages de la démonstration guidée
Au départ : xS = 2 f′, R = 2,40 f′, ε = 0,60 f′,
objet étudié à −2 f′ (cinquième mire), densité ×0,7.
Les plans nets sont à −1,60 f′ et −2,67 f′.
Les grandes excursions vont de −1,08 à −6,50 f′.
Après le bilan, quatre expériences font varier un paramètre à la fois : fermeture du diaphragme,
réduction des pixels, déplacement de la mise au point et réglage hyperfocal.
Chaque étape restaure sa base avant de calculer les valeurs animées : cliquer directement sur une étape
ou boucler ne conserve pas les réglages de l’étape précédente.
À l’hyperfocale : xS = f′(1 + ε/R), distance objet de mise au point
H = f′(1 + R/ε), premier plan net à H/2, dernier plan net à l’infini.
Export PNG : le bouton en haut à droite compose les cinq graphiques,
le titre, le message courant et les paramètres dans une seule image (résolution doublée),
puis la télécharge. Pratique pour une fiche élève ou une diapositive.