1. Onde progressive
Une perturbation se transmet de proche en proche. Une forme f(x − ct) se déplace vers +x à la célérité c, tandis que f(x + ct) se déplace vers −x. Pour une sinusoïde : k = 2π/λ, ω = kc, T = λ/c et f = 1/T.
Les points matériels de cette illustration transversale oscillent verticalement autour d’une position d’équilibre fixe : ils ne voyagent pas avec les crêtes. Le graphe principal est une photographie spatiale à l’instant t ; le graphe latéral est l’histoire temporelle d’un seul point.
Profil spatial et signal temporel : pourquoi cet ordre inversé ?
À un instant fixé, le profil f(x − ct) est lu de gauche à droite lorsque x augmente. À une position fixée, son argument x − ct diminue lorsque le temps augmente : la sonde parcourt donc ce même profil de droite à gauche. Les deux courbes ne sont pas à la même échelle horizontale : une distance Δx correspond à une durée Δt = Δx/c.
Avec la sonde initialement placée à 7 m dans ce scénario, les maximums passent aux instants tpetite = (7 − 3)/c et tgrande = (7 − 1,2)/c, séparés de 1,8/c secondes. L’amplitude reste positive : ce n’est ni une inversion du signe, ni une réflexion sur une paroi. Si vous placez la sonde à gauche d’une bosse initiale, celle-ci est déjà passée avant t = 0 et n’apparaît pas dans l’histoire affichée.
2. Deux ondes opposées
On additionne y₊ = A cos(kx − ωt) et y₋ = B cos(kx + ωt + φ). Les ondes ont la même fréquence et la même longueur d’onde. Le principe de superposition suppose un milieu linéaire, sans dispersion ni amortissement ici.
Si A = B, l’identité trigonométrique donne y = 2A cos(kx + φ/2) cos(ωt + φ/2). La dépendance spatiale et la dépendance temporelle sont séparées : c’est une onde stationnaire.
3. Nœuds et ventres
Les nœuds, marqués N en vert, sont immobiles : kx + φ/2 = π/2 + mπ. Les ventres, marqués V, ont une amplitude 2A : kx + φ/2 = mπ. Deux nœuds consécutifs sont séparés de λ/2 ; un nœud et son ventre voisin de λ/4. Deux fuseaux voisins oscillent en opposition de phase.
Les courbes pointillées sont les enveloppes d’amplitude, pas des positions de la corde à un instant donné. Si B ≠ A, l’amplitude minimale vaut |A − B|, et la maximale A + B : il n’existe plus de nœuds permanents (pour A > 0 et 0 ≤ B < A).
4. Expériences et commandes
- Progressive : B = 0, une seule sinusoïde vers +x.
- Stationnaire : B = A et φ = 0. Les deux ondes sources restent visibles pour comprendre la construction.
- Superposition : B/A = 0,65 au départ. Comparez avec les cas limites 0 et 1.
- Impulsion : deux bosses gaussiennes voyagent ensemble vers +x, sans déformation. Au départ, la grande (amplitude A) est centrée en x₁ = 1,2 m, et la petite (amplitude 0,4A) en x₂ = 3 m ; leur largeur σ vaut 0,36 m. La petite est donc en tête et arrive d’abord à la sonde, suivie de la grande. Il s’agit d’un seul passage, sans rebond ni réinjection. L’animation s’arrête après la sortie du profil.
Les réglages de rapport ou de phase basculent vers la superposition sinusoïdale. La sonde orange est déplaçable par glissement ou au clavier via son curseur. « Pas T/24 » met en pause puis avance d’un vingt-quatrième de période ; pour l’impulsion le pas vaut 0,1 s. En mode train réfléchi, il vaut aussi T/24. « Origine » remet le temps à zéro. La vitesse de lecture change seulement la vitesse d’animation, pas c.
5. Train sinusoïdal fini et réflexions
Ce scénario reprend votre script de liaison entre onde progressive et stationnaire : la corde a une longueur L = 7λ et porte initialement un train de cinq périodes sinusoïdales, orienté vers +x. Le nombre de périodes peut être réglé entre 1 et 6. Le profil est nul hors du train ; ce n’est pas une sinusoïde éternelle.
Les deux extrémités sont fixes. Chaque réflexion inverse le signe du déplacement. La première rencontre avec la paroi droite a lieu à t = (L − Mλ)/c, où M est le nombre de périodes dans le train. La durée de passage du train en un point, hors recouvrements et réflexions, vaut Mλ/c.
Pour tenir compte de toutes les réflexions, on définit F(z) = A sin(kz) sur 0 ≤ z ≤ Mλ, nul ailleurs sur [0,2L[, puis on le prolonge périodiquement avec une période 2L. La somme y = F(x − ct) − F(−x − ct) satisfait exactement les conditions y(0,t) = y(L,t) = 0. Les deux courbes sources sont les contributions se propageant vers +x et −x ; seules leur somme et ses extrémités doivent respecter les parois fixes.
Dans les zones de recouvrement, les deux contributions d’amplitudes égales créent localement une structure stationnaire. Mais les bords du train voyagent : le mouvement global n’est pas une stationnaire monochromatique pure. Le paquet comporte plusieurs fréquences. Sans pertes, le mouvement se reproduit après 2L/c ; l’animation continue sans remise à zéro.
La longueur d’onde est fixée à L/7 pour conserver la géométrie de votre exemple. Les réglages de phase, de rapport et l’enveloppe monochromatique sont désactivés dans ce seul scénario. Changer le nombre de périodes ou la célérité remet le temps à zéro.
6. Cadre physique et énergie
Pour les quatre premiers scénarios, la fenêtre de 0 à 12 m est une zone d’observation sans condition aux limites. Seul le scénario « Train d’ondes — réflexions » représente une corde fixée aux deux extrémités. Une réflexion peut ainsi créer l’onde opposée nécessaire à une interférence. Pour une corde idéale, les flux moyens des deux ondes sont opposés ; ils se compensent à amplitudes égales. L’énergie locale peut pourtant évoluer : « stationnaire » ne signifie pas absence de mouvement ou d’énergie.
Cette simulation reprend les idées des scripts joints (profil gaussien, cosinus progressif et stationnaire). Le scénario de train réfléchi prolonge le troisième script à un nombre illimité de réflexions, sans pertes.
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