1. Principe et convention
Le signal périodique est reconstruit par superposition :
sN(t) = c₀ + N∑n = 1 An sin(nω₀t + φn).
La fondamentale a pour fréquence f₀ et pour période T₀ = 1/f₀. La pulsation est ω₀ = 2πf₀. Les amplitudes Aₙ sont positives ou nulles ; les phases sont réglées en degrés. Le graphe temporel présente deux périodes. Les amplitudes sont en unités arbitraires.
2. Lire et modifier le spectre
- Chaque raie n ≥ 1 correspond à la fréquence nf₀. Glissez sa hauteur pour modifier Aₙ, ou utilisez le sélecteur et le curseur d’amplitude pour un réglage précis au clavier.
- Glissez les points du graphe inférieur pour modifier les phases entre −180° et +180°. La phase d’une raie d’amplitude nulle est sans effet.
- La raie verte n = 0 est située à fréquence nulle : sa hauteur vaut |c₀|. Le curseur « Composante continue » permet de régler sa valeur signée, de −1 à +1. Le glissement sur la raie en règle le module en conservant le signe courant. Cette composante constante n’a pas de phase.
- N est le rang maximal retenu, et non le nombre de raies non nulles. Diminuer N ne supprime pas les coefficients mémorisés. L’indicateur « Raies » compte les composantes non nulles retenues, composante continue comprise.
3. Préréglages
Les signaux idéaux ont une amplitude de ±1 et une moyenne nulle. Choisir un préréglage réinitialise les coefficients et c₀, en conservant N et f₀.
- Créneau : Aₙ = 4/(πn) pour n impair, phase nulle ; les rangs pairs sont nuls.
- Triangle : Aₙ = 8/(π²n²) pour n impair ; les phases alternent entre 0° et 180°.
- Dent de scie : Aₙ = 2/(πn) ; phase nulle aux rangs impairs et 180° aux rangs pairs.
- Sinusoïde : seule la fondamentale est non nulle, avec A₁ = 1 et φ₁ = 0°.
Après modification, le spectre devient « personnalisé ». « Rétablir les coefficients » restaure le dernier préréglage choisi. Le signal idéal reste celui de ce préréglage, sans suivre vos modifications de phases ou de c₀.
4. Affichage et animation
Superposez les harmoniques pour visualiser chaque contribution oscillante (sans c₀), et comparez leur somme au signal idéal en pointillés. L’échelle automatique ajuste la hauteur visible ; désactivez-la pour conserver une échelle fixe (les grandes amplitudes peuvent alors sortir du cadre). « Animer » déplace une sonde à vitesse pédagogique ; il ne change pas le signal. « Origine » ramène la sonde au début. Survoler ou toucher le signal permet une lecture locale de t et s(t).
5. Valeur efficace, THD et convergence
Sur une période, le théorème de Parseval donne s²eff = c₀² + ½ ∑ Aₙ². La THD vaut 100 × √(∑n≥2 Aₙ²)/A₁ : elle exclut la composante continue et devient indéfinie si A₁ = 0 (affichage « — »). Elle ne porte que sur les rangs retenus.
Pour le créneau, les dépassements près des sauts illustrent le phénomène de Gibbs : ils se resserrent quand N augmente, mais leur hauteur tend vers environ 9 % du saut. Aux discontinuités, la série converge vers la moyenne des limites à gauche et à droite. Le triangle converge plus vite grâce à ses amplitudes en 1/n².
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