1. Deux signaux proches
On superpose deux oscillations scalaires s₁ = A₁ cos(2πf₁t) et s₂ = A₂ cos(2πf₂t + φ), avec A₁ et A₂ positives ou nulles. Si les fréquences sont proches et les amplitudes non nulles, leur somme présente des alternances lentes de renforcement et d’affaiblissement : les battements. Les amplitudes sont en unités arbitraires ; les fréquences sont en hertz.
2. Enveloppe positive et modulation signée
Le module de la somme complexe est R(t) = √[A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos(2π(f₂−f₁)t + φ)]. Les courbes orange +R et −R bornent le signal : |s(t)| ≤ R(t). R n’est ni le signal instantané, ni sa valeur efficace. Pour des fréquences proches, elle décrit sa modulation lente.
Pour A₁ = A₂ = A, s(t) = 2A cos[π(f₂−f₁)t + φ/2] cos[2πf̄t + φ/2], avec f̄ = (f₁+f₂)/2. Le premier facteur est une modulation signée, de fréquence |f₂−f₁|/2. L’enveloppe positive est sa valeur absolue : ses maxima se répètent à la fréquence de battement fb = |f₂−f₁|, avec Tb = 1/fb. C’est l’origine du facteur 2 souvent source de confusion.
Si les amplitudes sont différentes, R varie entre |A₁−A₂| et A₁+A₂ : les minima ne sont pas nuls. Si une amplitude est nulle, il n’y a pas de battements, même si l’écart de fréquences paramétré reste non nul. Si f₁ = f₂, R est constante et aucun battement ne se produit ; φ peut néanmoins modifier l’amplitude résultante, jusqu’à une annulation complète pour deux amplitudes égales en opposition.
3. Construction de Fresnel
Chaque oscillation est la partie réelle d’un vecteur complexe Zⱼ = Aⱼ exp(iθⱼ), avec θ₁ = 2πf₁t et θ₂ = 2πf₂t + φ. Le rouge va de l’origine à Z₁ ; le cyan est placé à l’extrémité du rouge (addition bout à bout). Sa copie en pointillés part de l’origine. Le vecteur bleu relie l’origine à Z₁+Z₂.
Dans le repère fixe, la projection du vecteur bleu sur l’axe réel donne exactement s(t). Sa longueur est R(t). L’angle relatif Δθ = 2π(f₂−f₁)t + φ évolue lentement : vecteurs alignés, ils se renforcent ; opposés, ils se compensent partiellement ou totalement.
Dans le repère tournant à f̄, on représente Z′ = exp(−i2πf̄t)Z. Les vecteurs tournent alors aux fréquences −(f₂−f₁)/2 et +(f₂−f₁)/2. Leur somme conserve le même module, mais sa projection horizontale n’est plus le signal réel. Il faut reconstruire s(t) = Re[exp(i2πf̄t)Z′]. La projection physique est donc masquée dans ce repère.
À fréquences différentes, ce n’est pas un diagramme de Fresnel statique à une fréquence unique : les vecteurs tournent chacun à leur propre vitesse.
4. Commandes
Les deux onglets partagent les paramètres et le temps. Dans « Somme », le grand graphe présente une vue globale, et le petit un zoom centré sur l’instant courant couvrant quatre périodes moyennes. Dans « Fresnel », le petit graphe montre la vue globale et le grand les vecteurs. Les courbes complètes sont des guides analytiques, pas un enregistrement déjà parcouru.
Cliquez ou glissez sur un graphe temporel pour choisir l’instant et mettre en pause. « Pas T̄/24 » avance d’un vingt-quatrième de période moyenne. « Origine » remet le temps à zéro. Les changements de paramètres recalculent toute la représentation. La vitesse de lecture modifie seulement l’animation.
La fenêtre automatique couvre deux battements, avec une durée plafonnée à 60 s ; pour des fréquences égales, elle vaut 10 s. La fenêtre reste fixe par blocs successifs ; le zoom suit la sonde temporelle. Décochez l’option pour choisir la durée. Les onglets sont accessibles au clavier avec les flèches gauche et droite.
« Amplitudes égales » rétablit le cas initial ; « Amplitudes inégales » prend A₁ = 1 et A₂ = 0,55 ; « Même fréquence » prend f₁ = f₂ = 2 Hz avec des amplitudes égales et φ = 0. Ces scénarios remettent le temps à zéro. « Réinitialiser » restaure aussi les options d’affichage.
Fichier autonome inspiré des deux scripts joints. Pas de synthèse sonore dans cette version. Fermeture de l’aide avec Échap, le bouton ou un clic à l’extérieur.